
\documentclass[english,hebrew]{article}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{hyperref}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{array}
\usepackage{fontspec}

\setmainfont[
    Extension=.ttf,
    UprightFont= *-Regular,
    BoldFont=*-Bold,
    ItalicFont=NachlieliCLM-LightOblique,
	BoldItalicFont=*-Bold,
]{Alef}

\makeatletter
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Textclass specific LaTeX commands.
\theoremstyle{plain}
\newtheorem{thm}{\protect\theoremname}
  \theoremstyle{plain}
\newtheorem{question}[thm]{\protect\questionname}
\newtheorem{lem}[thm]{\protect\lemmaname}
\newtheorem{cor}[thm]{\protect\corollaryname}
\newtheorem{prop}[thm]{\protect\propositionname}



\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definition}{\protect\definitionname}
\newtheorem{example}{\protect\examplename}
\newtheorem{quesh}{שאלה}
\renewenvironment{question}{\begin{quesh}}{\end{quesh}}



\theoremstyle{remark}
\newtheorem{remark}{\protect\remarkname}

\makeatother

\usepackage{xunicode}
\usepackage{polyglossia}
\setdefaultlanguage{hebrew}
\setotherlanguage{english}
  \addto\captionsenglish{\renewcommand{\questionname}{Question}}
  \addto\captionsenglish{\renewcommand{\theoremname}{Theorem}}
  \addto\captionsenglish{\renewcommand{\corollaryname}{Corollary}}
  \addto\captionsenglish{\renewcommand{\propositionname}{Proposition}}
  \addto\captionsenglish{\renewcommand{\definitionname}{Definition}}
  \addto\captionsenglish{\renewcommand{\examplename}{Example}}
  \addto\captionsenglish{\renewcommand{\remarkname}{Remark}}
  \addto\captionshebrew{\renewcommand{\questionname}{שאלה}}
  \addto\captionshebrew{\renewcommand{\theoremname}{משפט}}
  \addto\captionshebrew{\renewcommand{\corollaryname}{מסקנה}}
  \addto\captionshebrew{\renewcommand{\propositionname}{טענה}}
  \addto\captionshebrew{\renewcommand{\lemmaname}{למה}}
  \addto\captionshebrew{\renewcommand{\definitionname}{הגדרה}}
  \addto\captionshebrew{\renewcommand{\examplename}{דוגמה}}
  \addto\captionshebrew{\renewcommand{\remarkname}{הערה}}
  \providecommand{\questionname}{שאלה}
  \providecommand{\theoremname}{משפט}
  \providecommand{\corollaryname}{מסקנה}
  \providecommand{\propositionname}{טענה}
  \providecommand{\lemmaname}{למה}
  \providecommand{\definitionname}{הגדרה}
  \providecommand{\examplename}{דוגמה}
  \providecommand{\remarkname}{הערה}

\begin{document}

\section{המשך - הפולינום המינימלי}

נמשיך עם הנושא של פולינומים מינימליים מההרצאה הקודמת, וננסה להוכיח, כפי שאמרנו, שהשורשים של הפולינום המינימלי הם בדיוק הערכים העצמיים של המטריצה.

\begin{thm}

יהי $f\in\mathbb{F}\left[x\right]$ פולינום מאפס למטריצה $A\in M_n\left(\mathbb{F}\right)$, ונניח $\deg\left(f\right)\leq n$. אזי $p_A\left(x\right)|\left[f\left(x\right)\right]^n$.

\end{thm}

\begin{proof}

נחפש מטריצות ריבועיות $B_0,\dots,B_{n-1}\in M_n\left(\mathbb{F} \right )$ שעבורן
$$B\left(x\right)=B_0+B_1x+\cdots+B_{n-1}x^{n-1}$$
מקיימת את המשוואה הבאה:
$$\left(\star\right)\left(xI-A \right )\cdot B\left(x \right )=f\left(x \right )\cdot I$$
נסמן $f\left(x \right )=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n$. נשווה את המקדמים לפני החזקות של x:

\begin{tabular}{c | c | c | c | c | c | c}
$x^0$ & $x^1$ & $x^2$ & $\cdots$ & $x^{n-1}$ & $x^n$ \\\hline
$-AB_0$ & $B_0-AB_1$ & $B_1-AB_2$ & $\cdots$ & $B_{n-2}-AB_{n-1}$ & $B_{n-1}$ & שמאל\\
$a_0I$ & $a_1I$ & $a_2I$ & $\cdots$ & $a_{n-1}I$ & $a_nI$ & ימין
\end{tabular}

משוויון המקדמים שאנו מחפשים, נקבל
$$B_{n-1}=a_nI,B_{n-2}=a_{n-1}I+AB_{n-1},\dots,B_1=a_2I+AB_2,B_0=a_1I+AB_1$$
אם נכפול את המקדם של $x^i$ ב-$A^i$, ונחבר את הכל, נקבל $0=0$. מכאן שהמשוואה הראשונה מתקיימת גם כן. נפעיל דטרמיננטה על $\left(\star \right )$:
$$\det\left[\left(xI-A \right )B\left(x \right ) \right ]=\det\left(f\left(x \right )I \right )$$
על פי כפליות הדטרמיננטה, נקבל
$$\det\left(xI-A \right )\det B\left(x \right )=\det\left(\begin{matrix}
f\left(x \right ) &  & 0\\ 
 & \ddots & \\ 
0 &  &f\left(x \right ) 
\end{matrix} \right )$$

נסמן $\det B\left(x\right)=g\left(x\right)$. אזי $p_A\left(x \right )g\left(x \right )=\left[f\left(x \right ) \right ]^n$, כלומר $p_A\left(x \right )|\left[f\left(x \right ) \right ]^n$, כדרוש.

\end{proof}

כעת נוכל לקבל את המסקנה שרצינו לגבי השורשים של הפולינום המינימלי. נזכור כי הפולינום המינימלי הוא פולינום מאפס שדרגתו לכל היותר $n$, ונקבל את המסקנה הבאה:

\begin{cor}

$$m_A\left(x \right )|p_A\left(x \right )|\left[m_A\left(x \right ) \right ]^n$$

\end{cor}

\begin{cor}

ל-$p_A\left(x\right)$ ול-$m_A\left(x\right)$ יש אותם הגורמים האי-פריקים. לכן, יש להם אותם השורשים.

\end{cor}

\begin{example} נציג דוגאות לפולינום מינימלי.

\begin{enumerate}

\item אם $A=\lambda I_n$, אזי $m_A\left(x\right)=x-\lambda$.

\item אם $A=J_n\left(\lambda\right)$, אזי $m_A\left(x\right)=\left(x-\lambda\right)^n$.

\end{enumerate}

\end{example}

\begin{proof}

\begin{enumerate}

\item קל לראות כי $x-\lambda$ הוא פולינום מאפס ל-$\lambda I_n$, והוא בדרגה המינימלית האפשרית לפולינום מאפס. לכן, הוא פולינום מינימלי.

\item אם $A=J_n\left(\lambda\right)$, אזי $p_A\left(x\right)=\left(x-\lambda\right)^n$. לכן, הפולינום המינימלי הוא מהצורה  
$m_A\left(x\right)=\left(x-\lambda\right)^k$
עבור $1\leq k\leq n$ כלשהו. נציב את $A$, ונקבל
$$m_A\left(A \right )=\left(A-\lambda I \right )^k={\underbrace{\left(\begin{matrix}
0 &1  &  & 0\\ 
 & 0 & \ddots & \\ 
 &  & \ddots &1 \\ 
0 &  &  & 0
\end{matrix} \right )}_N}^k=N^k$$
על ידי חישוב, ניתן לוודא כי $N^2\neq0$, $N^3\neq 0$, וכן הלאה, עד ש-$N^{n-1}\neq 0$, אבל $N^n=0$. רוצים $m_A\left(A \right )=N^k=0$, כלומר $n\leq k$. אבל גם אמרנו $1\leq k\leq n$. לכן, $k=n$, ומכאן מקבלים הדרוש.

\end{enumerate}

\end{proof}

\section{מטריצות אלכסוניות בלוקים}

אנו עוברים לנושא הבא, שבו ננסה למצוא צורה שלישית שלה דומות מטריצות. כדי להבין מהי הצורה הזו, נצטרך להגדיר את המושג הבא:

\begin{definition}

מטריצה מהצורה
$$\left(\begin{matrix}
\begin{array}{c|}A_1\\\hline \end{array} &  & 0\\ 
 & \ddots & \\ 
0 &  & \begin{array}{|c}\hline A_k \end{array}
\end{matrix} \right )$$
כאשר $A_1,\dots,A_k$ מטריצות ריבועיות מגודל $n_1,\dots,n_k$ בהתאמה, נקראת \textbf{מטריצה אלכסונית בלוקים}. גודלה $n\times n$, כאשר $n=n_1+\cdots+n_k$.

\end{definition}

הצורה השלישית שנראה תהיה מטריצה אלכסונית בלוקים, כשהבלוקים יהיו מטריצות מסוימות, הייחודיות לכל מטריצות (עד כדי דמיון).

הגדרנו מטריצות אלכסוניות בלוקים, וכעת ננסה לראות האם נוכל למצוא לה פולינום אופייני ומינימלי מבלי להתחיל לחשב אותם בכל פעם מחדש.

\begin{prop}

תהי $A$ מטריצה אלכסונית בלוקים. אזי:

\begin{enumerate}

\item $$p_A\left(x \right )=p_{A_1}\left(x \right )\dots p_{A_k}\left(x \right )$$

\item $$m_A\left(x \right )=\operatorname{lcm}\left \{m_{A_1}\left(x \right ),\dots, m_{A_k}\left(x \right )  \right \}$$

\end{enumerate}

\end{prop}

\underline{תזכורת:}

למספרים טבעיים,
$\operatorname{lcm} \left \{a_1,\dots,a_k  \right \}=\min\left\{M\mid a_1|M,\dots,a_k|M\right\}$.

לפולינומים, זהו הפולינום המתוקן מהמעלה הקטנה ביותר מהקבוצה 
$\left \{ g\in\mathbb{F}\left[x \right ]\mid f_1|g,\dots,f_k|g \right \}$.

\begin{proof}

נסמן $p_{A_i}\left(x \right )=p_i\left(x \right )$, 
$m_{A_i}\left(x \right )=m_i\left(x \right )$.

החלק הראשון על הפולינום האופייני קל לחישוב ישירות, על ידי דטרמיננטה של מטריצת בלוקים. אם כן, נוכיח רק את החלק השני.

לפי משפט קודם,
$$m_1\left(x \right )|p_1\left(x \right )|\left[m_1\left(x \right ) \right ]^n,\cdots,m_k\left(x \right )|p_k\left(x \right )|\left[m_k\left(x \right ) \right ]^n$$
נסמן $g\left(x \right )=\operatorname{lcm} \left \{m_{A_1}\left(x \right ),\dots, m_{A_k}\left(x \right )  \right \}$. נוכיח $m_A=g$ לפי השלבים הבאים:

\begin{enumerate}

\item אם $f\in\mathbb{F}\left[x\right]$ פולינום כלשהו, אזי
$$f\left(A \right )=\left(\begin{matrix}
\begin{array}{c|}f\left (A_1  \right )\\\hline \end{array} &  & 0\\ 
 & \ddots & \\ 
0 &  & \begin{array}{|c}\hline f\left(A_k \right ) \end{array}
\end{matrix} \right )$$

זה נכון מפני שמתקיים:

\begin{enumerate}

\item $$A^\ell=\left(\begin{matrix}
\begin{array}{c|}A_1^\ell \\\hline \end{array} &  & 0\\ 
 & \ddots & \\ 
0 &  & \begin{array}{|c}\hline A_k^\ell \end{array}
\end{matrix} \right )$$

\item $$\alpha A=\left(\begin{matrix}
\begin{array}{c|}\alpha A_1 \\\hline \end{array} &  & 0\\ 
 & \ddots & \\ 
0 &  & \begin{array}{|c}\hline \alpha A_k \end{array}
\end{matrix} \right )$$

\item אם $A,\tilde{A}$ שתי מטריצות אלכסוניות בלוקים כשהבלוקים מאותו גודל (מטריצות מאותו מבנה), אזי
$$A+\tilde{A}=\left(\begin{matrix}
\begin{array}{c|}A_1+\tilde{A}_1 \\\hline \end{array} &  & 0\\ 
 & \ddots & \\ 
0 &  & \begin{array}{|c}\hline A_k+\tilde{A}_k \end{array}
\end{matrix} \right )$$

\end{enumerate}

\item אם $f\left(A\right)=0$, אזי $f\left(A_i\right)=0$ לכל $i=1,\dots,k$.

\item $m_A\left(A_i \right )=0$ לכל $i=1,\dots,k$ (לפי השלב הקודם).

\item לכל $i=1,\dots,k$, מתקיים $m_i|m_A$. נימוק: נשתמש בחילוק עם שארית.

$m_A=q\cdot m_i+r$, כאשר $\deg\left(r\right)<\deg\left(m_i\right)$ או $r=0$. נציב $A_i$, ונקבל $m_A\left ( A_i \right )=q\left ( A_i \right )\cdot m_i\left ( A_i \right )+r\left ( A_i \right )$, כלומר $0=q\left ( A_i \right )\cdot 0+r\left ( A_i \right )$, ומכאן $r\left ( A_i \right )=0$. לכן, אם $\deg\left(r\right)<\deg\left(m_i\right)$, נקבל סתירה למינימליות של $m_i$, כלומר $r=0$.

\item אם כן, $g|m_A$, כי $g$ הוא $\operatorname{lcm}$.

\item עם זאת, $g\left ( A_i \right )=0$ לכל $i=1,\dots,k$, כי לכל $i$, מתקיים $m_i\left(A_i\right)=0$, וכן ידוע $m_i|g$.

\item לכן, $g\left ( A \right )=0$.

\item אם כן, $g|m_A$.

\item מ-5, מ-8 ומהעובדה ששני הפולינומים מתוקנים, נקבל $g=m_A$, כדרוש.

\end{enumerate}

\end{proof}

\end{document}
