
\documentclass[english,hebrew]{article}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{hyperref}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{array}
\usepackage{fontspec}

\setmainfont[
    Extension=.ttf,
    UprightFont= *-Regular,
    BoldFont=*-Bold,
    ItalicFont=NachlieliCLM-LightOblique,
	BoldItalicFont=*-Bold,
]{Alef}

\makeatletter
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Textclass specific LaTeX commands.
\theoremstyle{plain}
\newtheorem{thm}{\protect\theoremname}
  \theoremstyle{plain}
\newtheorem{question}[thm]{\protect\questionname}
\newtheorem{lem}[thm]{\protect\lemmaname}
\newtheorem{cor}[thm]{\protect\corollaryname}
\newtheorem{prop}[thm]{\protect\propositionname}



\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definition}{\protect\definitionname}
\newtheorem{example}{\protect\examplename}
\newtheorem{quesh}{שאלה}
\renewenvironment{question}{\begin{quesh}}{\end{quesh}}



\theoremstyle{remark}
\newtheorem{remark}{\protect\remarkname}

\makeatother

\usepackage{xunicode}
\usepackage{polyglossia}
\setdefaultlanguage{hebrew}
\setotherlanguage{english}
  \addto\captionsenglish{\renewcommand{\questionname}{Question}}
  \addto\captionsenglish{\renewcommand{\theoremname}{Theorem}}
  \addto\captionsenglish{\renewcommand{\corollaryname}{Corollary}}
  \addto\captionsenglish{\renewcommand{\propositionname}{Proposition}}
  \addto\captionsenglish{\renewcommand{\definitionname}{Definition}}
  \addto\captionsenglish{\renewcommand{\examplename}{Example}}
  \addto\captionsenglish{\renewcommand{\remarkname}{Remark}}
  \addto\captionshebrew{\renewcommand{\questionname}{שאלה}}
  \addto\captionshebrew{\renewcommand{\theoremname}{משפט}}
  \addto\captionshebrew{\renewcommand{\corollaryname}{מסקנה}}
  \addto\captionshebrew{\renewcommand{\propositionname}{טענה}}
  \addto\captionshebrew{\renewcommand{\lemmaname}{למה}}
  \addto\captionshebrew{\renewcommand{\definitionname}{הגדרה}}
  \addto\captionshebrew{\renewcommand{\examplename}{דוגמה}}
  \addto\captionshebrew{\renewcommand{\remarkname}{הערה}}
  \providecommand{\questionname}{שאלה}
  \providecommand{\theoremname}{משפט}
  \providecommand{\corollaryname}{מסקנה}
  \providecommand{\propositionname}{טענה}
  \providecommand{\lemmaname}{למה}
  \providecommand{\definitionname}{הגדרה}
  \providecommand{\examplename}{דוגמה}
  \providecommand{\remarkname}{הערה}

\begin{document}

\begin{definition}
סדרה $a_n$ נקראת סדרה הנדסית אם $ \exists q \forall n : a_{n+1}=q\cdot a_n $.
\end{definition}

נסמן את הסדרה $x_n=\sum_{k=1}^n a_k = a_1+a_1 q + a_1 q^2 +\cdots + a_1 q^{n-1} = a_1 (1+q+q^2+\cdots +q^{n-1}) $ ונשים לב ש- $x_n (1-q)=a_1 (1-q^n) \Rightarrow x_n = \frac{a_1 (q^n -1)}{q-1} $ . מה הגבול של הסדרה הזאת?

אם $|q|>1$ אז $\lim_{n\to \infty}|\frac{q^n-1}{q-1}| = \infty $

אם $|q|<1$ אז $\lim_{n\to \infty} q^n = 0 $ ואז לפי אריתמטיקה של גבולות, $\lim_{n\to \infty} x_n = \frac{a_1 (0-1)}{q-1}=\frac{a_1}{1-q} $

אם $q=1$ אז נשים לב ש- $a_n=a_1$ ולכן $x_n=n\cdot a_1 $ ולכן חוץ מבמקרה המנוון בו האיבר הראשון הוא 0, הסדרה לא תתכנס.

אם $q=-1$ אז $x_n$ תראה ככה: $a_1,0,a_1,0,\cdots $ , ושוב זה לא מתכנס חוץ מבמקרה בו $a_1=0$

\end{document}
