
\documentclass[english,hebrew]{article}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{hyperref}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{array}
\usepackage{fontspec}

\setmainfont[
    Extension=.ttf,
    UprightFont= *-Regular,
    BoldFont=*-Bold,
    ItalicFont=NachlieliCLM-LightOblique,
	BoldItalicFont=*-Bold,
]{Alef}

\makeatletter
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Textclass specific LaTeX commands.
\theoremstyle{plain}
\newtheorem{thm}{\protect\theoremname}
  \theoremstyle{plain}
\newtheorem{question}[thm]{\protect\questionname}
\newtheorem{lem}[thm]{\protect\lemmaname}
\newtheorem{cor}[thm]{\protect\corollaryname}
\newtheorem{prop}[thm]{\protect\propositionname}



\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definition}{\protect\definitionname}
\newtheorem{example}{\protect\examplename}
\newtheorem{quesh}{שאלה}
\renewenvironment{question}{\begin{quesh}}{\end{quesh}}



\theoremstyle{remark}
\newtheorem{remark}{\protect\remarkname}

\makeatother

\usepackage{xunicode}
\usepackage{polyglossia}
\setdefaultlanguage{hebrew}
\setotherlanguage{english}
  \addto\captionsenglish{\renewcommand{\questionname}{Question}}
  \addto\captionsenglish{\renewcommand{\theoremname}{Theorem}}
  \addto\captionsenglish{\renewcommand{\corollaryname}{Corollary}}
  \addto\captionsenglish{\renewcommand{\propositionname}{Proposition}}
  \addto\captionsenglish{\renewcommand{\definitionname}{Definition}}
  \addto\captionsenglish{\renewcommand{\examplename}{Example}}
  \addto\captionsenglish{\renewcommand{\remarkname}{Remark}}
  \addto\captionshebrew{\renewcommand{\questionname}{שאלה}}
  \addto\captionshebrew{\renewcommand{\theoremname}{משפט}}
  \addto\captionshebrew{\renewcommand{\corollaryname}{מסקנה}}
  \addto\captionshebrew{\renewcommand{\propositionname}{טענה}}
  \addto\captionshebrew{\renewcommand{\lemmaname}{למה}}
  \addto\captionshebrew{\renewcommand{\definitionname}{הגדרה}}
  \addto\captionshebrew{\renewcommand{\examplename}{דוגמה}}
  \addto\captionshebrew{\renewcommand{\remarkname}{הערה}}
  \providecommand{\questionname}{שאלה}
  \providecommand{\theoremname}{משפט}
  \providecommand{\corollaryname}{מסקנה}
  \providecommand{\propositionname}{טענה}
  \providecommand{\lemmaname}{למה}
  \providecommand{\definitionname}{הגדרה}
  \providecommand{\examplename}{דוגמה}
  \providecommand{\remarkname}{הערה}

\begin{document}

\begin{definition}
אומרים שסדרה $\{x_n\}_{n=1}^\infty $ "עולה מונוטונית" אם $\forall n : x_n\leq x_{n+1} $, במקרה כזה יש כאלה שמסמנים $x_n \nearrow$.\\
באופן דומה "יורדת מונוטונית" תהיה סדרה בה $\forall n : x_n\geq x_{n+1} $ ובמקרה כזה יש כאלה שמסמנים $x_n \searrow $
\end{definition}

\begin{thm}
תהי סדרה $\{x_n\}_{n=1}^\infty $ כך ש- $\sup x_n = M , \inf x_n = m$. אם $x_n \nearrow$ אז הסדרה מתכנסת ל- $M$ ואם $x_n \searrow$ אז הסדרה מתכנסת ל- $m$.
\end{thm}

\begin{proof}
נוכיח עבור סדרה מונוטונית עולה, ועבור מונוטונית יורדת ההוכחה אנלוגית. אם $M\in\mathbb{R}$ אז יהי $\epsilon>0 $ לפי תכונה של סופרימום,
$\exists n_0 : x_{n_0}>M-\epsilon$
וכיוון שזו סדרה מונוטונית עולה,
$$\forall n>n_0 : M-\epsilon<x_{n_0}\leq x_n\leq M<M+\epsilon $$
ואז $x_n\to M$.\\
אם $M=\infty$ אז יהי $E\in\mathbb{R}$. מההגדרה של חסם עליון אינסופי, $\exists n_0 : x_{n_0}>E $ וכיוון שזו סדרה מונוטונית עולה, $\forall n>n_0 : E<x_{n_0}\leq x_n$ ואז $x_n\to \infty=M$.

\end{proof}
\end{document}
