
\documentclass[english,hebrew]{article}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{hyperref}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{array}
\usepackage{fontspec}

\setmainfont[
    Extension=.ttf,
    UprightFont= *-Regular,
    BoldFont=*-Bold,
    ItalicFont=NachlieliCLM-LightOblique,
	BoldItalicFont=*-Bold,
]{Alef}

\makeatletter
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Textclass specific LaTeX commands.
\theoremstyle{plain}
\newtheorem{thm}{\protect\theoremname}
  \theoremstyle{plain}
\newtheorem{question}[thm]{\protect\questionname}
\newtheorem{lem}[thm]{\protect\lemmaname}
\newtheorem{cor}[thm]{\protect\corollaryname}
\newtheorem{prop}[thm]{\protect\propositionname}



\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definition}{\protect\definitionname}
\newtheorem{example}{\protect\examplename}
\newtheorem{quesh}{שאלה}
\renewenvironment{question}{\begin{quesh}}{\end{quesh}}



\theoremstyle{remark}
\newtheorem{remark}{\protect\remarkname}

\makeatother

\usepackage{xunicode}
\usepackage{polyglossia}
\setdefaultlanguage{hebrew}
\setotherlanguage{english}
  \addto\captionsenglish{\renewcommand{\questionname}{Question}}
  \addto\captionsenglish{\renewcommand{\theoremname}{Theorem}}
  \addto\captionsenglish{\renewcommand{\corollaryname}{Corollary}}
  \addto\captionsenglish{\renewcommand{\propositionname}{Proposition}}
  \addto\captionsenglish{\renewcommand{\definitionname}{Definition}}
  \addto\captionsenglish{\renewcommand{\examplename}{Example}}
  \addto\captionsenglish{\renewcommand{\remarkname}{Remark}}
  \addto\captionshebrew{\renewcommand{\questionname}{שאלה}}
  \addto\captionshebrew{\renewcommand{\theoremname}{משפט}}
  \addto\captionshebrew{\renewcommand{\corollaryname}{מסקנה}}
  \addto\captionshebrew{\renewcommand{\propositionname}{טענה}}
  \addto\captionshebrew{\renewcommand{\lemmaname}{למה}}
  \addto\captionshebrew{\renewcommand{\definitionname}{הגדרה}}
  \addto\captionshebrew{\renewcommand{\examplename}{דוגמה}}
  \addto\captionshebrew{\renewcommand{\remarkname}{הערה}}
  \providecommand{\questionname}{שאלה}
  \providecommand{\theoremname}{משפט}
  \providecommand{\corollaryname}{מסקנה}
  \providecommand{\propositionname}{טענה}
  \providecommand{\lemmaname}{למה}
  \providecommand{\definitionname}{הגדרה}
  \providecommand{\examplename}{דוגמה}
  \providecommand{\remarkname}{הערה}

\begin{document}

\begin{thm}[משפט הסנדוויץ']
תהיינה הסדרות $\{x_n\}_{n=1}^\infty , \{a_n\}_{n=1}^\infty , \{b_n\}_{n=1}^\infty $  כך ש- $ \forall n : a_n\leq x_n \leq b_n $ ובנוסף $\lim_{n\to \infty} a_n = \lim_{n\to \infty} b_n = L $ אזי הסדרה $x_n$ מתכנסת והגבול שלה הוא $L$.
\end{thm}
(שם המשפט נובע מכך שהסדרה האמצעית היא באמצע של מעין סנדוויץ' שיוצרות הסדרות $ a_n,b_n $ ששואפות לאותו גבול. פרופסור מארק אגרנובסקי מספר שברוסיה נהוג לקרוא למשפט הזה המשפט על שיכור ו-2 שוטרים משום שהסדרות $a_n,b_n$ הן כמו שוטרים שהולכים למקום מסוים $L$ וגורמים שיכור שהולך ביניהם $x_n$ ללכת איתם לאותו מקום)

\begin{proof}
אם $L=\infty$ אז פשוט עבור $M>0 $ ידוע שיש $n_0 $ שמתקיים עבורו\\
$\forall_{n>n_0} a_n>M $ ואז גם $x_n\geq a_n>M $. באותו אופן אם $L=-\infty$ אז נעשה אותו דבר רק עם העובדה ש- $x_n\leq b_n\leq M $ .\\
אם $L\in \mathbb{R} $, יהי $\varepsilon>0 $. ידוע אז ש-
$$ \exists_{n_1}\forall_{n>n_1}: L-\epsilon<a_n , \exists_{n_2}\forall_{n>n_2}: b_n<L+\epsilon  $$
ואז עבור $n_0=\max\{n_1,n_2\} $ מתקיים ש- $\forall_{n>n_0} : L-\epsilon<a_n\leq x_n\leq b_n < L+\epsilon $ ומכאן, ש- $|x_n-L|<\epsilon $ ואז לפי ההגדרה, $ x_n\to L $ . 
\end{proof}


\end{document}
