
\documentclass[english,hebrew]{article}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{hyperref}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{array}
\usepackage{fontspec}

\setmainfont[
    Extension=.ttf,
    UprightFont= *-Regular,
    BoldFont=*-Bold,
    ItalicFont=NachlieliCLM-LightOblique,
	BoldItalicFont=*-Bold,
]{Alef}

\makeatletter
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Textclass specific LaTeX commands.
\theoremstyle{plain}
\newtheorem{thm}{\protect\theoremname}
  \theoremstyle{plain}
\newtheorem{question}[thm]{\protect\questionname}
\newtheorem{lem}[thm]{\protect\lemmaname}
\newtheorem{cor}[thm]{\protect\corollaryname}
\newtheorem{prop}[thm]{\protect\propositionname}



\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definition}{\protect\definitionname}
\newtheorem{example}{\protect\examplename}
\newtheorem{quesh}{שאלה}
\renewenvironment{question}{\begin{quesh}}{\end{quesh}}



\theoremstyle{remark}
\newtheorem{remark}{\protect\remarkname}

\makeatother

\usepackage{xunicode}
\usepackage{polyglossia}
\setdefaultlanguage{hebrew}
\setotherlanguage{english}
  \addto\captionsenglish{\renewcommand{\questionname}{Question}}
  \addto\captionsenglish{\renewcommand{\theoremname}{Theorem}}
  \addto\captionsenglish{\renewcommand{\corollaryname}{Corollary}}
  \addto\captionsenglish{\renewcommand{\propositionname}{Proposition}}
  \addto\captionsenglish{\renewcommand{\definitionname}{Definition}}
  \addto\captionsenglish{\renewcommand{\examplename}{Example}}
  \addto\captionsenglish{\renewcommand{\remarkname}{Remark}}
  \addto\captionshebrew{\renewcommand{\questionname}{שאלה}}
  \addto\captionshebrew{\renewcommand{\theoremname}{משפט}}
  \addto\captionshebrew{\renewcommand{\corollaryname}{מסקנה}}
  \addto\captionshebrew{\renewcommand{\propositionname}{טענה}}
  \addto\captionshebrew{\renewcommand{\lemmaname}{למה}}
  \addto\captionshebrew{\renewcommand{\definitionname}{הגדרה}}
  \addto\captionshebrew{\renewcommand{\examplename}{דוגמה}}
  \addto\captionshebrew{\renewcommand{\remarkname}{הערה}}
  \providecommand{\questionname}{שאלה}
  \providecommand{\theoremname}{משפט}
  \providecommand{\corollaryname}{מסקנה}
  \providecommand{\propositionname}{טענה}
  \providecommand{\lemmaname}{למה}
  \providecommand{\definitionname}{הגדרה}
  \providecommand{\examplename}{דוגמה}
  \providecommand{\remarkname}{הערה}

\begin{document}

\section{ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים של מטריצות}

\begin{definition}

תהי 
$A\in M_n\left( \mathbb{F}\right) $.
אומרים ש-$\lambda\in\mathbb{F}$ הוא
\textbf{ערך עצמי (ע"ע)}
של $A$, אם קיים וקטור
$0\neq v\in\mathbb{F}^n$
שעבורו $Av=\lambda v$.

הוקטור $v$ נקרא \textbf{וקטור עצמי (ו"ע)} של $A$ הקשור ל-$\lambda $.

\end{definition}

\begin{definition}

אוסף כל הערכים העצמיים של $A$ נקרא \textbf{הספקטרום} של $A$, ומסומן $\operatorname{spec}\left (A\right )$.

\end{definition}

\begin{remark}

יכול להיות המצב $spec(A)=\emptyset$.

\end{remark}

הרעיון בערכים עצמיים ווקטורים עצמיים הוא לדעת אילו וקטורים המטריצה מותחת או מכווצת. הווקטור העצמי - מי ההעתקה מותחת או מכווצת, והערך העצמי - פי כמה. בהמשך נראה שלערכים העצמיים ולווקטורים העצמיים יש תפקיד משמעותי ב"הבנת" מטריצות.

\begin{thm}

$\lambda=0$ ערך עצמי של $A$ אם ורק אם $A$ איננה הפיכה.

\end{thm}

\begin{proof}

\begin{description}

\item[$\boxed{\Leftarrow}$]
נניח $\lambda =0$ הוא ע"ע של $A$. זאת אומרת שקיים וקטור $v\ne 0$ שעבורו $Av=0$. 
נסמן
$$v=\left ( \begin{matrix}
v_1\\ 
\vdots \\ 
v_n
\end{matrix} \right ),\quad A=\left ( \begin{matrix}
a_{11} & \cdots &a_{1n} \\ 
\vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & \cdots & a_{nn}
\end{matrix} \right )$$
נוכל להגיד שלפיכך
$$\left \{ \begin{matrix}
a_{11}v_1+\cdots+a_{1n}v_n=0\\ 
\vdots\\ 
a_{n1}v_1+\cdots+a_{nn}v_n=0
\end{matrix} \right.
$$
היא מערכת הומוגנית (בת $n$ משוואות מ-$n$ נעלמים). למערכת יש פתרון לא טריוויאלי, ולכן $A$ אינה הפיכה.

\item[$\boxed{\Rightarrow}$]
נניח ש-$A$ הפיכה. נתבונן במערכת $Av=0$. יש לה פתרון לא טריוויאלי $v\ne 0$, ולכן מתקיים $Av=0=0\cdot v$, זאת אומרת ש-$\lambda =0$ הוא ע"ע של $A$.

\end{description}

\end{proof}

\begin{remark}

$A$ איננה הפיכה אם ורק אם $\det\left (A\right )=0$.

\end{remark}

\begin{thm}

$\lambda \in\mathbb{F}$ הוא ערך עצמי של מטריצה $A\in M_{n}(\mathbb{F})$ אם ורק אם $\det\left (\lambda I-A\right )=0$.

\end{thm}

\begin{proof}

$\lambda \in\mathbb{F}$ הוא ע"ע של $A$ $\Leftrightarrow$ קיים $v\ne 0$ כך ש-$Av=\lambda v$ $\Leftrightarrow$ קיים $v\ne 0$ כך ש-$\lambda v-Av=0$ $\Leftrightarrow$ קיים $v\ne 0$ כך ש-$\left (\lambda I-A\right )v=0$ $\Leftrightarrow$ המטריצה $\lambda I-A$ אינה הפיכה $\Leftrightarrow$ $\det(\lambda I-A)=0$.

\end{proof}

המשפט מאפשר לנו לחשב ערכים עצמיים מבלי לנסות לכפול וקטורים במטריצה בתקווה ש"ייצא טוב". לפי המשפט, כדי למצוא ערכים עצמיים של המטריצה נוכל לפתור את המשוואה $\det\left (\lambda I-A\right )=0$. זהו פולינום ממעלה $n$, ובהמשך נקרא לו "הפולינום האופייני" של $A$, והוא ישחק תפקיד חשוב בתיאוריה שלנו.

נציג כעת מספר דוגמאות למציאת ערכים עצמיים.

\begin{example}[מטריצת היחידה]

ניקח $A=I_n$, ונחפש את $\operatorname{spec}\left(A\right)$. נבדוק בשתי שיטות:

\begin{description}

\item[שיטה ראשונה - חישוב ישיר]

נניח ש-$I_n v=\lambda v$. מכאן, $v=\lambda v$, כלומר $\lambda = 1$, כלומר 
$\operatorname{spec}\left(I_n\right)=\left\{1\right\}$.

\item[שיטה שנייה - לפי המשפט]

נשים לב כי
$$\lambda I-A=\left ( \begin{matrix}
\lambda-1 &  &0 \\ 
 & \ddots & \\ 
0 &  & \lambda-1
\end{matrix} \right )$$
לכן, $\det\left ( \lambda I-A \right )=\left ( \lambda-1 \right )^n$ 
אם כן, $\lambda=1\Leftrightarrow\left(\lambda-1\right)^n=0$, ולכן $\operatorname{spec}\left(I_n\right)=\left\{1\right\}$.

לסיכום, הערך העצמי של מטריצת היחידה הוא $1$, ומהחישוב שבחלק הראשון גילינו שכל הווקטורים הם וקטורים עצמיים שלו. זה אכן מתאים לדברים המוכרים - כל וקטור הכופלים במטריצת היחידה נשאר עצמו, המתיחה היא תמיד פי 1.

\end{description}

\end{example}

\begin{example}[מטריצה אלכסונית כללית]

נסמן
$$A=D=\left ( \begin{matrix}
\alpha_1 &  &0 \\ 
 & \ddots & \\ 
0 &  & \alpha_n
\end{matrix} \right )$$
נרצה לדעת מהו $\operatorname{spec}\left(D\right)$. על פי המשפט, נסתכל על $\lambda I-D$: 
$$\lambda I-D=\left ( \begin{matrix}
\lambda-\alpha_1 &  &0 \\ 
 & \ddots & \\ 
0 &  & \lambda-\alpha_n
\end{matrix} \right )$$
הדטרמיננטה: $\lambda=\alpha_1,\dots,\alpha_n\Leftrightarrow\det\left(\lambda I-A\right)=\prod_{i=1}^{n}\left(\lambda-\alpha_i \right )=0$.

קיבלנו ש-$\operatorname{spec}\left ( D \right )=\left \{ \alpha_1,\dots,\alpha_n \right \}$.

אכן, גם את התוצאה הזו יכולנו לצפות מראש! מטריצה אלכסונית מותחת בדיוק את וקטורי היחידה, $e_1,\dots,e_n$ פי $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ בהתאמה.

\end{example}

\begin{example}[מטריצה משולשת עליונה]

ניקח
$$A=T=\left ( \begin{matrix}
\alpha_1 &  & \star\\ 
 & \ddots & \\ 
0 &  & \alpha_n
\end{matrix} \right )$$
מטריצה משולשת עליונה.

על פי הוכחה דומה לזו של מטריצה אלכסונית - מקבלים
$\operatorname{spec}\left ( T \right )=\left \{ \alpha_1,\dots,\alpha_n \right \}$.

\end{example}

\begin{example}

ניקח מעל $\mathbb{F}=\mathbb{R}$ את המטריצה
$$A=\left ( \begin{matrix}
0 &1 \\ 
-1 &0 
\end{matrix} \right )$$
אזי
$$\lambda I-A=\left ( \begin{matrix}
\lambda & -1\\ 
1 & \lambda
\end{matrix} \right )$$
לפי חישוב, $\det\left ( \lambda I-A \right )=\lambda^2+1=0$, אבל למשוואה זו אין פתרונות ב-$\mathbb{R}$.

אם כן, $\operatorname{spec}\left(A\right)=\emptyset$.

\end{example}

\section{ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים של אופרטורים}

\begin{definition}

\textbf{אופרטור לינארי} $T:V\rightarrow V$ הוא העתקה 
לינארית מ-$V$ לעצמו.

\end{definition}

המשמעות זהה למטריצות - אילו וקטורים האופרטור מותח או מכווץ.

\subsection{הגדרת ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים והקשר למטריצות המייצגות}

\begin{definition}

יהי $T:V\rightarrow V$ אופרטור לינארי. אומרים ש-$
\lambda \in\mathbb{F}$ הוא \textbf{ערך עצמי} (ע"ע) של האופרטור $T$
אם קיים
$0\ne v\in V$ שעבורו $Tv=T(v)=\lambda v
$. 
הוקטור $v$ נקרא \textbf{וקטור עצמי} (ו"ע) 
של $T$ הקשור ל-$\lambda $.

\end{definition}

\begin{thm}

יהי $T:V\rightarrow V$ אופרטור לינארי, 
יהי $B=\left \{ v_1,\dots,v_n \right \} $ בסיס 
של $V$ ותהי $A$ המטריצה 
המייצגת של $T$ יחסית ל-$B$
. אזי אם $\lambda \in\mathbb{F}$ הוא ערך עצמי של 
$T$, הוא גם ערך עצמי של $A$
.

\end{thm}

\begin{proof}

נסמן
$$\left [ v \right ]_B=\left ( \begin{matrix}
\alpha_1\\ 
\vdots\\ 
\alpha_n
\end{matrix} \right )$$
$A$ היא המטריצה המייצגת של $T$ 
יחסית ל-$B$, ולכן $Tv=A\cdot \left [ v \right ]_B$
. $\lambda$ ע"ע של $T$, אזי קיים
$v\neq 0$ כך ש-$Tv=\lambda v$, זאת אומרת 
$A\cdot\left [ v \right ]_B=\lambda \left [ v \right ]_B$, 
ולכן
$\lambda$ ע"ע של $A$.

\end{proof}

\subsection{אלגוריתם למציאת ערכים עצמיים של אופרטור}

\begin{enumerate}
\item נבחר בסיס $B$ של $V$.

\item נחשב את המטריצה המייצגת $A$.

\item נרכיב את המשוואה $\det\left(\lambda I-A\right)=0$. זוהי משוואה ממעלה $n$.

\item מחפשים פתרונות $\lambda_1,\dots,\lambda_s$.
\end{enumerate}

\end{document}
